分组分解：把四项变成两个相同的整体

为什么要分组

有的多项式整体没有明显的公因式，也不直接符合乘法公式。但是把若干项放在一起以后，各组能提取自己的公因式，剩下的部分又恰好相同。这时就可以再提一次公因式，把整个式子写成乘积。

分组不是把式子任意分成两半，而是在寻找“下一步能合并的共同结构”。看见四项时可以尝试两项一组，但分组数量和方式都要服务于这个目的。

对 $ax+ay+bx+by$ ，先按前两项、后两项分组：

ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y).

第一步在组内提取，第二步把 $(x+y)$ 当作整体再次提取。若改成 $(ax+bx)+(ay+by)$ ，也能得到同一结果。有效的分组可能不止一种，关键是能否继续走向整体的乘积。

分解因式： $ab-ac+2b-2c$ 。

思路点拨

前两项共有 $a$ ，后两项共有 $2$ 。提取后检查括号是否一致；不要把 $-ac$ 或 $-2c$ 的负号丢掉。

完整解析

按前后两组提取公因式：

\begin{aligned} ab-ac+2b-2c &=a(b-c)+2(b-c)\\ &=(a+2)(b-c). \end{aligned}

也可以按字母分组，写成 $b(a+2)-c(a+2)$ ，同样得到 $(a+2)(b-c)$ 。展开检验，四项的系数与符号均与原式一致。

如果提取后出现 $(b-c)$ 和 $(c-b)$ ，它们不是同一个因式，但互为相反数。可以利用 $c-b=-(b-c)$ 统一方向，再继续提取。例如

a(b-c)+2(c-b)=(a-2)(b-c).

这里的 $2$ 变成 $-2$ 有明确原因：把第二个括号取了相反数，外面的系数就必须补上负号，才能保持原式的值不变。

学会分组后，回看提公因式法会发现，真正重要的是识别共同部分；它可以是一个字母，也可以是经过整理才显现出来的整个括号。