提公因式：先看每一项共有的部分

因式分解是在改变什么

整式乘法把乘积展开成和，例如 $a(b+c)=ab+ac$；因式分解则沿着相反方向，把一个多项式写成几个整式的乘积。例如 $ab+ac=a(b+c)$。

关键不在式子变短，而在结构改变：原来最外层是加减，分解后最外层是乘法。$x^2+2x+1=x(x+2)+1$ 虽然恒等，却没有完成因式分解，因为最外层仍然有加法。

公因式怎样找

先看系数，一般取各项整数系数的最大公因数；再看字母，只取每一项都含有的字母；最后看指数，取这个字母在各项中的最低次数。这个过程对应着一个朴素问题：“有什么可以从每一项中完整拿出来？”

提取后，括号里的各项由原来的各项分别除以公因式得到。若某一项恰好等于公因式，除完以后要留下 $1$，不能消失。例如 $ax+a=a(x+1)$。

例题：系数和字母同时处理

分解因式：$6x^3y-9x^2y^2$。

遇到负号，整项一起处理

有时把负号一并提出，后续结构更清楚。例如 $-2x^2+4x=-2x(x-2)$。提出负号以后，括号里的对应符号都会改变；不能只改变第一项。

公因式也可以是一个多项式。例如 $a(x-y)+b(x-y)=(x-y)(a+b)$。把重复出现的 $(x-y)$ 暂时看作一个整体，做法就与 $am+bm=(a+b)m$ 完全相同。

容易错在哪里

• 取指数时选了最高次数，导致某项不能整除。公因式必须是每一项共有的部分。
• 提取后漏掉 $1$，把 $x^2-x$ 写成 $x(x)$。正确结果是 $x(x-1)$。
• 只提取一部分就停止。通常先尽量提净公因式，再检查剩下的多项式还能不能继续分解。

无论后面遇到公式法、分组法还是换元，第一眼都先找公因式。它常常是让复杂式子变得清楚的第一步。