函数交点：让图象、方程与面积互相说明

一个交点满足两套关系

两条函数图象的交点，同时在两条图象上，因此它的横、纵坐标同时满足两个表达式。求交点，就是求两个表达式的公共解。

例如直线 $y=x+1$ 与双曲线 $y=\frac6x$ 的交点，需要满足 $x+1=\frac6x$ 。从图形问题转为方程时，别忘了反比例函数的限制 $x\ne0$ 。乘以 $x$ 去分母以后，最后仍要把解带回原来的条件中检查。

方程能帮助我们找到位置，但综合题往往还要求面积或位置关系。这时应把求出的点标回坐标系，看看能否利用坐标轴分割图形。不要把每一个几何问题都继续堆成复杂的代数运算。

本篇用到一元二次方程。如果尚未学习这一章，可以先理解“交点同时满足两个函数”，在学完方程解法后再完成计算部分。

直线 $y=x+1$ 与双曲线 $y=\frac6x$ 交于点 $A$ 、 $B$ ，其中 $A$ 在第一象限。求两个交点的坐标，以及 $\triangle OAB$ 的面积， $O$ 为原点。

思路点拨

先联立两个表达式，求出 $x$ 再求 $y$ 。面积部分取直线与 $y$ 轴的交点 $C$ ，用线段 $OC$ 把大三角形分为两个三角形，底相同，高可以由横坐标读出。

完整解析

由 $x+1=\frac6x$ 且 $x\ne0$ ，得

x^2+x-6=0,\qquad(x-2)(x+3)=0.

所以 $x=2$ 或 $x=-3$ ，均不为零。代入 $y=x+1$ ，得 $A(2,3)$ 、 $B(-3,-2)$ ；两点的坐标乘积均为 $6$ ，也都满足反比例函数。

令 $x=0$ ，直线与 $y$ 轴交于 $C(0,1)$ 。 $C$ 位于线段 $AB$ 上， $OC=1$ 。点 $A$ 、 $B$ 到 $y$ 轴的距离分别为 $2$ 、 $3$ ，所以

S_{\triangle OAB} =S_{\triangle OAC}+S_{\triangle OBC} =\frac12\times1\times2+\frac12\times1\times3 =\frac52.

去分母后忘记检查 $x\ne0$ 。原式的限制在转化后仍然有效。
只求出横坐标就写成点的答案。交点坐标必须成对给出。
把三角形面积直接写成 $\frac{|k|}{2}=3$ 。本题 $A$ 、 $B$ 都在双曲线上，线段 $AB$ 并不是坐标轴或垂线，不能套用那个特殊面积结论。
作辅助线后直接相加，未确认分割关系。本题 $C$ 确在 $AB$ 上，所以两个小三角形组成原三角形。

完成这类题后，把“交点—公共解”“横坐标—到纵轴的距离”各解释一次，才能真正把代数与几何连接起来。