数轴动点：先写位置，再讨论距离

动点题真正变化的是什么

运动改变的是点在数轴上的位置。先把位置表达出来，距离、相遇、中点等条件才有落脚点。

约定数轴向右为正方向。一个点从 $a$ 出发，以每秒 $v$ 个单位长度向右运动，经过 $t$ 秒的位置为 $a+vt$ ；向左运动则为 $a-vt$ 。这里 $v$ 表示速率，是非负数，方向已经由加减号表示。

遇到“先走几秒”“到某点停下”“折返”等条件，必须先明确每一阶段的起点、方向和时间范围。一个式子不能自动覆盖方向已经改变的全过程。

相遇时，两点的位置相同；相距 $d$ 时，两点位置之差的绝对值等于 $d$ 。设位置分别为 $p(t)$ 、 $q(t)$ ，就有

\text{相遇： }p(t)=q(t),\qquad \text{相距 }d\text{： }|p(t)-q(t)|=d.

这样写既能处理相遇前，也能处理相遇后，避免只凭“速度和”得到一个答案而漏掉另一个。

点 $P$ 从表示 $-2$ 的点出发，向右每秒运动 $2$ 个单位长度；点 $Q$ 从表示 $10$ 的点出发，向左每秒运动 $1$ 个单位长度。两点同时出发，经过彼此后仍按原方向、原速度继续运动。求两点相距 $3$ 个单位长度的时刻。

思路点拨

设经过 $t$ 秒。先写出两个位置，再列距离方程。题目明确两点相遇后继续运动，所以要同时检查相遇前和相遇后的答案。

完整解析

经过 $t$ 秒，两点分别表示 $-2+2t$ 、 $10-t$ ，其中 $t\ge0$ 。因此

PQ=|(-2+2t)-(10-t)|=|3t-12|.

由 $|3t-12|=3$ ，得 $3t-12=3$ 或 $3t-12=-3$ ，解得 $t=5$ 或 $t=3$ 。

当 $t=3$ 时，两点表示 $4$ 和 $7$ ；当 $t=5$ 时，两点表示 $8$ 和 $5$ ，距离都为 $3$ 。两点在 $t=4$ 时相遇，两个答案分别对应相遇前和相遇后。

所以出发后第 $3$ 秒和第 $5$ 秒，两点相距 $3$ 个单位长度。

算出时间只是中途的一步。最后把时间代回两个位置式，看图上是否真的符合条件，才能把代数答案还原为题目的答案。