绝对值：从离原点多远，到离某一点多远

绝对值先是一段距离

一个数 $a$ 的绝对值，是数轴上表示 $a$ 的点到原点的距离。例如 $|-4|=4$ ， $|4|=4$ ， $|0|=0$ 。距离没有负值，因此 $|a|\ge0$ ，且只有 $a=0$ 时绝对值为零。

绝对值也不等于“看见负号就删掉”。当字母的符号未知时，不能直接把绝对值符号去掉。准确的规则是：先判断里面的整个式子是非负还是负，再决定原样写出还是取相反数。

|a|=\begin{cases}a,&a\ge0,\\-a,&a<0.\end{cases}

第二行的 $-a$ 并不一定是负数。例如 $a=-4$ 时， $-a=4$ 。字母前有负号，只能说明“取这个数的相反数”。

$|x|$ 是点 $x$ 到原点的距离； $|x-a|$ 则是点 $x$ 到点 $a$ 的距离。所以 $|x-2|$ 的观察中心是 $2$ ，而 $|x+2|=|x-(-2)|$ 的观察中心是 $-2$ 。

看懂中心以后，很多方程就变成了找位置。若 $r>0$ ，距离点 $a$ 为 $r$ 的点有两个：左边一个、右边一个，分别表示 $a-r$ 和 $a+r$ 。

解方程 $|x-2|=5$ ，并用数轴解释答案。

思路点拨

题目在找“离 $2$ 的距离为 $5$ 的位置”。从 $2$ 向左、向右各走 $5$ ，两个方向都要考虑。

完整解析

由绝对值的意义， $x-2=5$ 或 $x-2=-5$ ，解得

x=7\quad\text{或}\quad x=-3.

在数轴上， $7$ 位于 $2$ 的右侧，距离为 $7-2=5$ ； $-3$ 位于 $2$ 的左侧，距离为 $2-(-3)=5$ 。代回原式，两者都满足条件。

$|x-a|=r$ 中，若 $r=0$ ，只有 $x=a$ 一个解；若 $r<0$ ，没有解。这些结论都来自距离的意义，不能把“左右各一个”机械套到所有题目中。解题前先检查等号右边的数，就能提前知道可能有几个解，也能帮助我们发现后面是否遗漏了答案。

下一次看到绝对值，先问一句：“它表示哪个点到哪个点的距离？”这往往比立刻分类计算更有方向。