零点分段：把绝对值问题拆成有限种情况

什么情况下需要分段

一个绝对值里面的式子，通常在等于零的位置改变符号。例如 $x+1$ 在 $x=-1$ 处变号， $x-3$ 在 $x=3$ 处变号。因此处理 $|x+1|+|x-3|$ 时，先找出 $-1$ 、 $3$ ，就能把所有实数分成三段。

这比凭感觉列举正负组合更可靠。两个式子的正负并非可以任意组合，例如这里不可能同时出现 $x+1<0$ 和 $x-3>0$ 。

令 $S=|x+1|+|x-3|$ 。根据所在区间，去掉绝对值符号：

S=\begin{cases} -(x+1)-(x-3)=2-2x,&x<-1,\\ (x+1)-(x-3)=4,&-1\le x\le3,\\ (x+1)+(x-3)=2x-2,&x>3. \end{cases}

中间一段出现常数并不是巧合。点 $x$ 位于 $-1$ 和 $3$ 之间时，到两个端点的距离相加，恰好等于两端点间的长度 $4$ 。点走到区间外，就多走了一段来回路程，因此距离和会增大。

解方程 $|x+1|+|x-3|=6$ 。

思路点拨

在 $[-1,3]$ 内，距离和始终为 $4$ ，不会等于 $6$ 。答案只能在区间两侧。分别求出以后，还要检查它是否属于当时讨论的范围。

完整解析

当 $x<-1$ 时， $2-2x=6$ ，解得 $x=-2$ ，满足 $x<-1$ 。

当 $-1\le x\le3$ 时，左边恒为 $4$ ，没有解。

当 $x>3$ 时， $2x-2=6$ ，解得 $x=4$ ，满足 $x>3$ 。

所以方程的解为 $x=-2$ 或 $x=4$ 。检验：两点对应的距离和分别为 $1+5$ 、 $5+1$ ，都等于 $6$ 。

对一般的两个定点 $a<b$ ， $|x-a|+|x-b|$ 的最小值是 $b-a$ ，取到最小值的位置是整个区间 $a\le x\le b$ 。最小值是一个数，取值位置却可以有无穷多个，二者不要混淆。

分段讨论的关键是“分得全、式子对、结果回到范围里”。写出这三步，分类才算真正完成。