参数与面积：把坐标乘积放进直角三角形

先把坐标变成边长

设 $P(a,b)$ 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象上，过 $P$ 分别向两条坐标轴作垂线。点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为 $|b|$ ，到 $y$ 轴的距离为 $|a|$ 。

由这些垂线与坐标轴围成的矩形，面积为

S_{\text{矩形}}=|a|\,|b|=|ab|=|k|.

若只连接原点 $O$ 、点 $P$ 及 $P$ 在某一坐标轴上的垂足，就得到其中一半的直角三角形，面积为 $\frac{|k|}{2}$ 。

所以“参数的几何意义”不是额外背下来的结论，而是坐标乘积与面积公式相遇后的结果。

点在第二或第四象限时， $ab=k<0$ ，但面积不能是负数。横、纵坐标表示方向和位置，边长表示距离，因此把坐标变成边长时必须取绝对值。

反过来，只知道面积通常只能确定 $|k|$ 。还需要图象所在象限或点的坐标符号，才能判断 $k$ 的正负。

点 $P$ 在某反比例函数图象的第二象限分支上，过 $P$ 作 $PA\perp x$ 轴，垂足为 $A$ 。已知 $\triangle OAP$ 的面积为 $6$ 。求函数表达式；当点 $P$ 的横坐标为 $-3$ 时，求它的纵坐标。

思路点拨

先由面积求 $|k|$ ，再用第二象限判断 $k$ 的符号。确定表达式以后，代入横坐标，最后检查点是否仍在第二象限。

完整解析

由 $\frac{|k|}{2}=6$ ，得 $|k|=12$ 。图象经过第二象限，故 $k<0$ ，所以 $k=-12$ 。

函数表达式为

y=-\frac{12}{x}\quad(x\ne0).

当 $x=-3$ 时， $y=4$ ，所以 $P(-3,4)$ 。检验：直角边长分别为 $3$ 、 $4$ ，面积为 $\frac12\times3\times4=6$ ，且点位于第二象限。

面积等于 $\frac{|k|}{2}$ ，依赖于一条边在坐标轴上、另一条边是点到坐标轴的垂线，并且顶点包含原点。若换成任意两个双曲线上的点与原点组成的三角形，面积一般不再固定。若垂线落到一条平移后的直线上，也必须重新分析底与高。

遇到面积题，先标出底和高，再把它们写成坐标的绝对值。公式自然出现，使用范围也会一起变得清楚。