反比例关系：变化的两端，不变的乘积

从一个不变量认识反比例

一个面积固定为 $24$ 的长方形，两条邻边长分别为 $x$ 、 $y$ ，则 $xy=24$ ，所以 $y=\frac{24}{x}$ ，其中 $x>0$ 。当一条边变为原来的两倍时，另一条边变为原来的一半，乘积始终不变。

一般地，形如

y=\frac{k}{x}\quad(k\ne0)

的函数称为反比例函数。它也可以写成 $xy=k$ 或 $y=kx^{-1}$ ，但无论哪一种写法，都必须保留 $x\ne0$ 的限制。函数表达式给出数学上的范围，实际问题还可能附加长度为正等条件。

当 $k\ne0$ 时， $x$ 与 $y$ 的乘积始终是同一个非零数，两个变量都不能为零。若把 $k$ 取成零，就不再是这里研究的反比例函数，不能继续套用双曲线的图象和性质。

识别反比例关系时，优先检查“乘积是否固定”。两个量一个变大、一个变小，并不足以说明它们成反比例。例如 $y=10-x$ 在变化过程中也会递减，但 $xy$ 并不是常数。

已知 $y$ 是 $x$ 的反比例函数，当 $x=3$ 时， $y=-4$ 。求函数表达式，并求 $x=-2$ 时的函数值。

思路点拨

先写 $y=\frac{k}{x}$ ，再由已知的一组对应值求乘积 $k$ 。确定表达式后，才能代入另一组自变量的值。

完整解析

由 $k=xy$ ，得 $k=3\times(-4)=-12$ ，所以函数表达式为

y=-\frac{12}{x}\quad(x\ne0).

当 $x=-2$ 时， $y=\frac{-12}{-2}=6$ 。

检验两组对应值： $3\times(-4)=-12$ ， $(-2)\times6=-12$ ，乘积一致。

观察几组 $x$ 、 $y$ ，可以分别算出乘积，作为识别关系的线索。如果题目已经说明是反比例函数，一组非零对应值就足以确定 $k$ 。但只凭有限的几个数据点，不能排除其他可能的函数关系，仍要结合题目给出的条件。