看懂双曲线：象限、增减与两条分支

参数的符号先决定象限

对 $y=\frac{k}{x}$ ，因为 $xy=k$ ，当 $k>0$ 时， $x$ 、 $y$ 同号，图象在第一、第三象限；当 $k<0$ 时， $x$ 、 $y$ 异号，图象在第二、第四象限。

反比例函数的图象由两条分支组成，称为双曲线。由于 $x\ne0$ 且 $y\ne0$ ，图象不会与坐标轴相交。图象可以不断靠近坐标轴，但“越来越近”不等于“最后碰到”。画草图时，也不能把两条分支用穿过原点的线连接起来。

当 $k>0$ 时，在 $x<0$ 和 $x>0$ 的每一个范围内， $y$ 都随 $x$ 的增大而减小；当 $k<0$ 时，在这两个范围内， $y$ 都随 $x$ 的增大而增大。

这里“每一个范围内”不能省略。跨过零点以后，两点处在不同分支上，不能直接套用同一分支的增减性。跨分支比较时，先看函数值的正负，往往就足够了。

点 $A(-4,a)$ 、 $B(-2,b)$ 、 $C(1,c)$ 都在函数 $y=\frac{8}{x}$ 的图象上。比较 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的大小。

思路点拨

$A$ 、 $B$ 在同一条负半轴分支上，可以用增减性比较； $C$ 在正半轴分支上，函数值的符号与前两个不同。也可以代入计算，作为检验。

完整解析

因为 $k=8>0$ ，在 $x<0$ 时函数值随 $x$ 增大而减小。由 $-4<-2$ ，得 $a>b$ 。

又因为 $a<0$ 、 $b<0$ ，而 $c>0$ ，所以

b<a<c.

直接计算可验证： $a=-2$ ， $b=-4$ ， $c=8$ ，结论相同。

先确定参数与象限，再取几组容易计算的对应值，分别在两条分支上描点。靠近坐标轴处适当增加点，连接时用平滑曲线，体现走势。图象关于原点成中心对称，因此点 $(a,b)$ 在图象上时， $(-a,-b)$ 也在图象上。

读图时先看象限，再看分支，最后看走势，结论才不会被一句过度简化的口诀带偏。