数轴：把数变成位置，把差变成距离

先让数有一个位置

数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。三个要素缺一不可：原点确定从哪里开始，正方向确定数值增大的方向，单位长度确定走一格代表多少。

画图时通常取向右为正方向。数轴上右边的数总比左边的大，但“数更大”不等于“离原点更远”。例如，$-5<2$，表示 $-5$ 的点却离原点更远。大小比较看左右，距离比较看长度，这是两种不同的问题。

为什么两点距离写成绝对值

点 $A$、$B$ 分别表示数 $a$、$b$。如果已经知道 $b\ge a$，从左边的 $A$ 走到右边的 $B$，长度是 $b-a$。如果左右位置还不确定，直接写 $b-a$ 可能得到负数，而距离不能为负。因此统一写成

这不是需要孤立记忆的公式。它表达的就是“右边的位置减去左边的位置”。绝对值帮我们把两种顺序放进了同一个式子。

例题：把位置、距离和中点分清

数轴上，点 $A$ 表示 $-3$，点 $B$ 表示 $5$。求线段 $AB$ 的长度及其中点 $M$ 表示的数。

做题时怎样使用

先标出已知点，再判断是否确定左右顺序。顺序确定时可以直接相减；顺序不确定时保留绝对值。遇到“点 $P$ 到点 $A$ 的距离”，若 $P$ 表示 $x$、$A$ 表示 $a$，就写成 $|x-a|$。这一步会把图上的条件转换成可计算的式子。

容易错在哪里

• $-3$ 是位置，$3$ 才是这个点到原点的距离，不要把两者混用。
• “单位长度是两小格”时，两小格整体才代表 $1$，不能直接数格子得答案。
• 中点用两端数的平均数；两点间距用两端数之差的绝对值，它们解决的问题不同。

学完后试着不背公式，用“从左边走到右边”解释一次 $|a-b|$。能解释清楚，后面的动点表达就有了依据。